ÖDÜLLÜ SORULAR / QUESTIONS WITH A REWARD
Aşağıda yanıtını bilmediğim birkaç matematik sorusu bulacaksınız. Çözen öğrencilere sorunun yanında belirtilen ödüller verilecektir (ama sorular herkese açıktır)/ Below you will find a few mathematical questions that I do not know the answers. Students who will solve them will get the indicated rewards.
1. Q[kök{2}] kümesinin bir altkümesi çıkarma ve kare alma altında kapalıysa çarpma altında da kapalı mıdır? Burada Q kesirli sayılar kümesidir. Z[kök{2}] için yanıtın evet olduğunu biliyorum. Tıklayın (Soru 7). (75 YTL). Serhat Doğan tarafından çözüldü
1. Is a subset of Q[sqrt{2}] closed under subtraction and squaring necessarily closed under multiplication. Here Q stands for the set (field) of rational numbers. I know the answer is affirmative for
Z[sqrt2]. See Q7 of that link. (75 YTL.) Solved by Serhat Dogan
2. XR[X] halkasının maksimum bir ideali var mıdır? Burada R gerçel (reel) sayılar kümesidir. R[X] ise polinom halkası.
2. Does the ring XR[X] have a maximal ideal? Here R stands for the field of real numbers and R[X] for the polynomial ring.
Çözüm: Evet. f : XR[X] -----> R, f(Xg(X)) = g(1) olarak tanımlansın (1'de değerlendirme). O zaman Ker(f) maksimal idealdir.
Answer: Yes. Let f : XR[X] -----> R be defined by f(Xg(X)) = g(1) (evaluation at 1). Then Ker(f) is a maximal ideal.
3. G şu çizge olsun: Noktaları doğal sayılar. Eğer x ve y sayılarından biri diğerinin bir asal çarpımıysa, o zaman x ve y arasında bir kenar olsun; yoksa olmasın. Bu çizgenin özyapı dönüşümlerini (otomorfizmalarını) bulun. (40 milyon TL.)
3. Let G be the following graph: The vertices are all natural numbers. Put an edge between two numbers if one is a prime multiple of the other. Find the automorphism group of G. (60 million TL.)
Çözüm (Serhat Doğan, Bilkent, 3. sınıf, Aralık 2004): 1 sayısının herhangi iki komşusu arasında, uzunluğu 2 olan tam 2 yol vardır: p - 1 - q ve p - pq - q. Öte yandan 1 sayısının bu özelliği diğer sayılarda yoktur, örneğin eğer p asalı n'yi bölüyorsa, n'nin komşuları olan n/p ve np arasında sadece bir tek 2 uzunluğunda bir yol vardır. Dolayısıyla her özyapı dönüşümü 1, 1'i gönderir. Bundan da asalların aralarında dönüştüğü çıkar. Bundan hareketle özyapı dönüşümlerinin asalların dönüşümünden oluştuğu kolaylıkla anlaşılır, yani Aut(G) » Sym(Asallar).
Solution (Serhat Doğan, Bilkent, 3rd year, January 2004): the number 1 has the following property: Between any two distinct neighbors of 1 there are exactly two paths of length 2: p - 1 - q and p - pq - q. Moreover 1 is the only number with this property. Indeed, if p divides n, then n/p - n - np is the only path between the neighbors n/p and np of n. Therefore any automorphism must send 1 to 1. It follows that primes must be permuted among themselves. It is easy to show from this that any automorphism is given multiplicatively starting from any permutation of prime numbers, i.e. Aut(G) » Sym(Primes).

4. Q[√2] cisminde karelerin toplamını bulun. Yani Q[√2]'nin hangi elemanları sonlu tane (gene Q[√2]2den) karenin toplamı olarak yazılır? Serhat Doğan tarafından çözüldü Toplanacak karelerin üst sınırı var mıdır? (75 YTL)
4. Find the elements of Q[√2] which are sums of squares (of elements of Q[√2] again). Solved by Serhat Doğan Is there a bound on the number of squares to be added? (75YTL)